无理数的无理数次方是否为有理数?

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这是高三期间本班大佬在数学课上提出的一个问题和证明,觉得非常有意思,不如把它写下来。

求证:
     是否存在两个无理数 a,b 使得 a^b 为有理数?

证明:
    如果 \sqrt 2 ^{\sqrt 2} 是有理数,则原命题得证。
    如果\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}是无理数,因为\sqrt 2是无理数,且 {(\sqrt 2 ^ {\sqrt 2})} ^ {\sqrt 2} = \sqrt 2 ^{\sqrt 2 \times \sqrt 2} = 2 ,所以原命题得证。

这个证明十分巧妙——虽然结果一定,但是我们不强求这个结果,分两个类一样能证明。

现在问题来了,\sqrt 2^{\sqrt 2}是不是有理数?我觉得不是,等着大佬来证明。


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